対称問題の説明の前に変位拘束境界条件の記号の説明をします。
X方向拘束の記号を図1に示します。三角形と二つの丸で表現します。丸がコロであると解釈して。転がっていると考えればよいと思います。
図2の左図のに示すように,左右対称形の門型フレームの中心に荷重Wが作用している問題を考えます。形状と荷重が対称の場合,解析規模(要素数と節点数)を約半分に削減して解析することができます。
中心面を仮想境界面とします。門型フレームはX軸に対して対称なので,仮想境界面はYZ平面となります。ここでZ軸は画面垂直で手前向きとします。
このような場合,形状モデルを仮想境界面で切断し片方を削除します。そして,図3に示すような境界条件を設定します。仮想境界面がYZ平面なので仮想境界面の変位拘束は「X方向拘束」とします。次に荷重の大きさを半分にします。荷重を半分にすることを忘れがちなので注意してください。そして床に固定されている面を「X,Y,Z方向拘束」とします。こうすることで,形状モデルを半分にしない場合と同じ結果を得ることができます。
仮想境界面がZX平面のときは仮想境界面の変位拘束は「Y方向拘束」,仮想境界面がXY平面のときは仮想境界面の変位拘束は「Z方向拘束」ですが,仮想境界面がX軸,Y軸,Z軸に垂直でない場合は,変位拘束の方向を「仮想境界面と垂直方向」とします。
解析結果のコンタ図が半分になってしまうというデメリットがありそうですが,ほとんどの有限要素法ソフトでは対称拡張表示機能があって,半分にする前の形状で応力や変位を表示できます。
解析モデルを面対称モデルとすることに他のメリットとして,接触要素を用いたときの収束性の向上があります。摩擦あり接触などの接触要素を用いた場合,非線形解析となって繰返し計算で答えを求めますが,いくら繰り返しても答えが求まらない場合がよくあります。このような場合,問題を対称問題とすることで全体の自由度が減少し収束しやすくなります。
図4左図に示すような筒の外周に圧力Pが一様に作用している問題は,軸対称問題とすることで三次元問題を二次元問題に変えて計算時間を劇的に短縮することができます。その条件は,形状モデルが回転対称であることと,荷重条件と拘束条件も回転対称であることです。
図4右図が解析モデルです。二次元問題なのでZ軸はありません。Y軸を中心軸と一致させるところがポイントです。拘束境界条件は筒の下面を「Y方向拘束」にします。軸対称問題ではX方向(半径方向)の拘束は必要ありません。
図5に周期対称問題が適用できる例を示します。図のように形状と荷重と固定条件が規則的に繰り返しているとき,周期境界条件を使って解析モデルの規模を縮小できます。
図6に周期対称問題の境界条件を示します。有限要素法ソフトにA面とB面が周期境界条件であることを教える必要があります。有限要素法ソフトの内部では,A面とB面の変位が常に等しくなるように計算されることになります。
仮想仕事の原理 を追加しました。